Vierte
Klas-
sen-
arbeit
in der
HH1b
Schul-
jahr
2003/
2004
|
Aufgabe 1: (12 Punkte)
Zu welchem Zinssatz ist ein Kapital ausgeliehen,
wenn es in 14 Jahren auf dasselbe Kapital
anwächst wie ein doppelt so großes
Anfangskapital, das 6 Jahre lang zu 7 % angelegt
wird? |
Gegeben/gesucht:
| Kapital 1 |
Kapital 2 |
| p = 7 % |
p = ? |
| n = 6 Jahre |
n = 14 Jahre |
| K01
= 2 * K02 |
K02
= x |
| Kn1
= Kn2 |
Kn2
= Kn1 |
Anzuwendende Formeln: Kn
= K0 * qn
| 2 * K02 * 1,076
= K02 * q14 |
/ K02 |
| 2 * 1,076 = q14 |
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| 3,00146... = q14 |
14. Wurzel |
| q =
1,08167101... |
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Der Zinssatz beträgt
8,167 %.
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Aufgabe 2: (22 Punkte)
Ein Bausparvertrag mit einer Vertragssumme von
200.000,00 EUR wird durch einmalige Zahlung von
20.000,00 EUR und jährliche vorschüssige
Einzahlungen von 7.500,00 EUR angespart. Das
Guthaben wird mit 3,5 % verzinst. Am Ende welchen
Jahres beträgt das Guthaben mindestens 50 % der
Bausparsumme? Nach Zuteilung des Vertrags wird
ein Bauspardarlehen von 50 % der Vertragssumme zu
5 % ausgezahlt. Durch Zahlungen von 12.000,00
jeweils am Jahresende soll es getilgt werden.
Nach wieviel Jahren ist die Schuld ausgeglichen? |
Gegeben/gesucht beim Ansparen:
| K0 =
20.000 EUR |
| r = 7.500 EUR |
| vorschüssig |
| p = 3,5 % |
| n = ? |
| En =
100.000 EUR |
Anzuwendende Formel: En
= K0 * qn + {[r * q * (qn
- 1)] / (q - 1)}
| 100.000 = 20.000 * 1,035n
+ {[7.500 * 1,035 * (1,035n -
1)] / (1,035 - 1)} |
* 0,035 |
| 3.500 = 700 * 1,035n +
[7.500 * 1,035 * (1,035n - 1)] |
ausmultiplizieren |
| 3.500 = 700 * 1,035n +
7.762,5 * 1,035n - 7.762,5 |
+ 7.762,5 und ausrechnen |
| 11.262,5 = 8.462,5 * 1,035n |
/ 8.462,5 |
| 1,3308... = 1,035n |
log |
| log (1,3308...) = log (1,035n) |
3.
Logarithmen-Gesetz |
| log (1,3308...) = n * log (1,035) |
/ log (1,035) |
| n = 8,308... |
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Am Ende des neunten
Jahres ist bereits mehr als die Hälfte der
Bausparsumme angespart.
Gegeben/gesucht beim Darlehen:
| K = 100.000 EUR |
| A = 12.000 EUR |
| p = 5 % |
| n = ? |
Lösungsweg: Berechne
zunächst die erste Tilgungsrate, um als
anzuwendende Formel: A =
T1 * qn
| Z = 100.000 * 5 / 100 |
|
| Z = 5.000 |
|
| 12.000 = 5.000 + T1 |
|
| T1 = 7.000 |
|
| 12.000 = 7.000 * 1,05n |
/ 7.000 |
| 1,7142... = 1,05n |
log |
| log (1,7142...) = log (1,05n) |
3.
Logarithmen-Gesetz |
| log (1,7142...) = n * log (1,05) |
/ log (1,05) |
| n = 11,047... |
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Die Schuld ist nach 12
Jahren getilgt.
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Aufgabe 3: (28 Punkte)
Ein Kapitalanleger rechnet aufgrund
forstwirtschaftlicher Untersuchungen für einen
Wald mit folgenden Erträgen: vom 15. bis
einschließlich 20. Jahr jeweils 3.000,00 EUR am
Jahresende; vom 32. bis einschließlich 38. Jahr
jeweils 5.000,00 EUR am Jahresende; vom 45. bis
einschließlich 50. Jahr jeweils 10.000,00 EUR am
Jahresende. Zu welchem Preis darf der Anleger den
Wald kaufen, wenn er mit einer Verzinsung von 5 %
kalkuliert? |
Gegeben/gesucht:
| 1. Ertragsperiode |
2. Ertragsperiode |
3. Ertragsperiode |
| kein Ertrag: 14
Jahre |
kein Ertrag: 31
Jahre |
kein Ertrag: 44
Jahre |
| r = 3.000 EUR |
r = 5.000 EUR |
r = 10.000 EUR |
| nachschüssig |
nachschüssig |
nachschüssig |
| n = 6 Jahre |
n = 7 Jahre |
n = 6 Jahre |
| p = 5 % |
p = 5 % |
p = 5 % |
| R01
= Kn mit 14 Jahren |
R02
= Kn mit 31 Jahren |
R03
= Kn mit 44 Jahren |
Lösungsweg: Der Wert zum Zeitpunkt 0 der drei
Ertragsperioden ist zusammen zu zählen: W = K01 + K02
+ K03, deshalb sind
anzuwendende Formeln:
für den Barwert jeder Ertragsperiode: R0 = [r * (qn
- 1)] / [qn * (q - 1)]
und für die Barwerte der Zeiten ohne Erträge: Kn
= K0 * qn genauer: K0 = Kn / qn
| W = (R01
/ 1,0514) + (R02 /
1,0531) + (R03 /
1,0544) |
einsetzen |
| W = {[3.000 *
(1,056 - 1)] / [1,056
* (1,05 - 1)] / 1,0514} +
{[5.000 * (1,057 - 1)] / [1,057
* (1,05 - 1)] / 1,0531} +
{[10.000 * (1,056 - 1)] /
[1,056 * (1,05 - 1)] / 1,0544} |
/ 0,05 |
| W = {[60.000 * (1,056 -
1)] / [1,056 * 1,0514]}
+ {[100.000 * (1,057 - 1)] /
[1,057 * 1,0531]} +
{[200.000 * (1,056 - 1)] /
[1,056 * 1,0544]} |
Nenner ausrechnen |
| W = {[60.000 * (1,056 -
1)] / [1,0520]} + {[100.000 *
(1,057 - 1)] / [1,0538]}
+ {[200.000 * (1,056 - 1)] /
[1,0550]} |
ausrechnen |
| W = 7.690,7082... + 6.375,4110... +
5.931,5214... |
ausrechnen |
| W =
19.997,6406... |
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Der Preis des Waldes
darf 19.997,64 EUR betragen.
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