Erste
Klas-
sen-
arbeit
in der
HH2b
Schul-
jahr
2004/
2005
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Aufgabe 1: (80 Punkte)
Für ein Produkt hat die Marktforschung folgende
Daten für Angebot und Nachfrage ermittelt:
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Angebot |
Nachfrage |
| Bei einem Preis von 35 GE je ME: |
30 ME |
105 ME |
| Bei einem Preis von 60 GE je ME: |
80 ME |
30 ME |
- Berechne die Angebots- und die
Nachfragefunktionsgleichungen. Wobei auf
der x-Achse die Menge und auf der y-Achse
der Preis abgetragen werden.
- Bestimme den Gleichgewichtspreis.
- Zeichne die Graphen beider Funktionen in
ein geeignetes gemeinsames
Koordinatensystem.
- Wie hoch ist der Angebotsüberschuß (=
die Menge, die mehr angeboten, als
nachgefragt wird) bei einem Preis von 55
GE?
- Wie hoch ist der Nachfrageüberschuß (=
die Menge, die mehr nachgefragt, als
angeboten wird) bei einem Preis von 40
GE?
- Wie verändert sich der
Gleichgewichtspreis, wenn die Nachfrage
bei jedem Preis um 15 ME zurück geht?
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a. bis e.: Lösung zu Seite 86,
Nr. 22
f. Aufstellen der neuen Funktionsgleichung
für die Nachfrage mit Hilfe der
Zwei-Punkte-Form:
| Nachfrage |
Preis |
| 90 |
35 |
| 15 |
60 |
Umsetzung der Wertetabelle:
| Berechnung der neuen Nachfrage |
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| (y - 35) / (x - 90) = (60
- 35) / (15 - 90) |
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| (y - 35) / (x - 90) =
-1/3 |
* (x - 90) |
| y - 35 = -1/3 * (x - 90) |
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| y - 35 = -1/3*x + 30 |
+ 35 |
| y = -1/3*x + 65 |
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Die Nachfragefunktion
lautet: N(x) = -1/3x +65.
Berechnung des Schnittpunkts durch
Gleichsetzen der Angebots- und der
Nachfragefunktion:
| 1/2x + 20 = -1/3x + 65 |
- 20 |
| 1/2x = -1/3x + 45 |
+ 1/3x |
| 1/2x + 1/3x = 45 |
gleichnamig machen |
| 3/6x + 2/6x = 45 |
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| 5/6x = 45 |
/ 5/6 |
| x = 54 |
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Bei einer Menge von 54 ME ergibt sich der
Gleichgewichtspreis mit z. B. A(54) = 1/2 * 54 +
20 = 47 GE.
Also verringert sich der Gleichgewichtspreis
von 50 GE auf 47 GE, d. h. um 3 GE.
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Aufgabe 2: (20 Punkte)
Eine Stelle x einer Funktion heißt Nullstelle,
wenn gilt: f(x) = 0. Bezogen auf die Gerade
bedeutet dies: x ist Nullstelle der Gerade, wenn
mx + b = 0. Beweise folgende Behauptungen:
(Hinweis: Unterscheide vier Fälle, jeweils für
m = 0 und m <> 0 sowie b = 0 und b <>
0.)
- Eine Gerade besitzt keine Nullstelle,
wenn sie parallel zur x-Achse verläuft
und nicht selbst die x-Achse ist.
- Eine Gerade besitzt eine Nullstelle, wenn
die Steigung von Null verschieden ist.
- Eine Gerade besitzt unendlich viele
Nullstellen, wenn sie die x-Achse ist.
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1. Fall: m <> 0:
Dann gilt: 0 = mx + b => x = -b/m
Es ist gleichgültig, ob b = 0 oder b <> 0
ist, es gibt genau eine
Nullstelle, nämlich x0 = -b/m.2.
Fall: m = 0, d. h. die Gerade verläuft parallel
zur x-Achse:
Dann gilt: 0 * x + b = 0 => b = 0
D. h., die Gerade ist die x-Achse und dann ist
jedes x eine Nullstelle, also gibt es unendlich viele Nullstellen.
Ist b <> 0, dann gibt es keine Nullstelle, weil die
Aussage b = 0 dann falsch ist.
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