kl129

Aufgaben-Hilfe

Zweite
Klas-
sen-
arbeit
in der
HH1c
Schul-
jahr
2004/
2005

Aufgabe 1: (20 Punkte)
Ein Unternehmen hat folgende Kosten ermittelt:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
K(x)	14	32	40	44	50	64	92	140	214

Die Erlöse betragen je ME 20 GE. Wie lautet die Erlösfunktion?
Die Kostenfunktion lautet K(x) = x³ -8x² +25x + 14. Bestimme Nutzenschwelle und Nutzengrenze.
Ermittle die Gleichung der Gewinnfunktion G(x).
Ermittle die Gleichung der Funktion für die variablen Stückkosten.
Wo besitzt die Funktion aus d) ihr Minimum?

Die Gleichung der Erlösfunktion lautet: E(x) = 20x.

Bestimmnung von Nutzenschwelle und Nutzengrenze:

Aus der Tabelle kann abgelesen werden:

E(2) = 40 und K(2) = 40, also ist x = 2 die Nutzenschwelle.

E(7) = 140 und K(7) = 140, also ist x = 7 die Nutzengrenze.

Berechnung der Gewinnfunktion:

G(x) = E(x) - K(x) = 20x - (x³ -8x² + 25x + 14) = -x³ + 8x² - 5x -14

Bestimmung der Gleichung für die Funktion der variablen Stückkosten:

k_v(x) = K_v(x) / x = x² - 8x + 25

Ermittlung des x-Wertes des Scheitelpunktes:

Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt bei -p/2, also besitzt die Gewinnfunktion bei x = 4 ihr Minimum.

Aufgabe 2: (20 Punkte)
Es sei E(x) = 8x und K(x) = 0,5x³ -3x² +8x + 8.

Bestimme Nutzenschwelle und Nutzengrenze.
Die Gleichung der sogenannten Grenzkosten lautet: D(x) = 1,5x² -6x +8. Das Gewinnmaximum befindet sich dort, wo Grenzkosten und Stückerlöse gleich groß sind. Berechne das Gewinnmaximum.

Ansatz:
E(x) = K(x)

Lösung:

Bestimmung eines Linearfaktors durch Probieren:
für x = 1 gilt: 1-6+16 <> 0
für x = 2 gilt: 8-24+16 = 0, also ist (x - 2) ein Linearfaktor

Polynomdivision durch (x - 2):

Berechnung der Nullstellen:

Nutzenschwelle ist somit x = 2.
Nutzengrenze ist somit x = 5,4641...

Ermittlung der Stückerlöse:
Da E(x) = 8x, beträgt der Erlös je ME 8 GE.

Ansatz zur Berechnung des Gewinnmaximums:
1,5x² -6x +8 = 8

Lösung:

Das Gewinnmaximum liegt also bei x = 4.

Es beträgt E(4) = 32 abzüglich K(4) = 4 -12 + 16 + 8 = 24, also 8 GE.

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