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in der
HH2b
Schul-
jahr
2004/
2005

Ergebnisse
Aufgabe 1: (12 Punkte)
Beweise, daß der Graph einer ganz-rationalen Funktion der Form f(x) = ax³ +bx² +cx +d genau einen Wendepunkt besitzt.
(Hinweis: Nimm an, es liegt ein Wendepunkt vor und zeige, daß es nur einer sein kann.)
a. Ableitungen der Normalform:

f(x) = ax³ +bx² +cx +d
f'(x) = 3ax² +2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a

b. Ausnutzen der Bedingung f'''(xw) <> 0:

Dann ist 6a <> 0 [, also a <> 0].

c. Ausnutzen der Bedingung f''(x) = 0:

Dann gilt:

6ax + 2b = 0 - 2b
6ax = - 2b / 6a [ist wegen b. definiert!]
x = - b/3a  

Also liegt nur ein Wendepunkt vor, denn a und b sind genau bestimmte Zahlen.
 
Aufgabe 2: (21 Punkte)
Es sei f(x) = x³ -6x² +11x -6.
  1. Zeige, daß der Graph die x-Achse bei x = 1 schneidet und bestimme weitere Nullstellen.
  2. Bilde die erste, die zweite und die dritte Ableitung der Funktion.
  3. Bestimme den Wendepunkt des Graphen.
  4. Wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt (-1;f(-1))?
a. Nullstellenberechnung:

f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
Also ist x = 1 eine Nullstelle von f.

Also ist (x - 1) ein Linearfaktor.

(x3 -6x2 +11x -6) : (x - 1) = x² - 5x + 6
-(x3 -x²)        
       
  -5x2 +11x      
  -(-5x2 +5x)      
 
     
    +6x -6    
    -(6x -6)    
   
   
      0    

x² - 5x + 6 = 0
x1;2 = 5/2 ± sqr(25/4 - 24/4)
x1 = 3
x2 = 2

b. Ableitungen:

f'(x) = 3x² -12x +11

f''(x) = 6x -12

f'''(x) = 6

c. Wendepunktberechnung:

6x - 12 = 0 + 12
6x = 12 / 6
x = 2  

Da f'''(2) = 6 <> 0, ist x = 2 Wendestelle von f.

x = 2 ist Nullstelle von f, also:

Wendepunkt (2;0)

d. Tangente an P(-1;f(-1)):

f(-1) = -1 - 6 - 11 - 6 = -24

f'(-1) = 3 + 12 + 11 = 26

Punkt-Steigungs-Form:
(y + 24) / (x + 1) = 26
y + 24 = 26x + 26
y = 26x + 2
 
Aufgabe 3: (14 Punkte)
Es sei f eine ganz-rationale Funktion dritten Grades, deren Punkt W(1;1) ein Wendepunkt ist und deren Graph bei x = 3 die x-Achse berührt. Berechne die Funktionsgleichung.
Aufstellen des Gleichungssystems:

[Ableitungen der Normalform:
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a]

  ax3 +bx2 +cx +d = f(x)  
W(1;1) a +b +c +d = 1 (1)
f''(1) = 0,
weil W Wendepunkt		 6a +2b     = 0 (2)
E(3;0) 27a +9b +3c +d = 0 (3)
f'(3) = 0,
weil E x-Achse berührt		 27a +6b +c   = 0 (4)

Aus (2) folgt:
3a + b = 0
b = -3a

Dies eingesetzt in (4) ergibt:
27a - 18a + c = 0
9a + c = 0
c = -9a

Beides eingesetzt in (3) ergibt:
27a - 27a - 27a + d = 0
-27a + d = 0
d = 27a

Alle drei eingesetzt in (1) ergibt:
a - 3a - 9a + 27a = 1
16a = 1
a = 1/16

Daraus ergibt sich:
b = -3/16
c = -9/16
d = 27/16

Und:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 27
 
Aufgabe 4: (12 Punkte)
Die Gewinnfunktion eines Unternehmens laute G(x) = -0,02x² -20x +2.000. Berechne Nutzenschwelle und Nutzengrenze, sowie das Gewinnmaximum.
a. Berechnung von Nutzenschwelle und Nutzengrenze:

Ansatz: G(x) = 0
-0,02x² - 20x + 2.000 = 0
x² + 1.000x - 100.000 = 0
x1;2 = -500 ± sqr(250.000 + 100.000)
x1 = 91,60798...
x2 < 0, daher ohne Berücksichtigung

Die Nutzenschwelle liegt bei x = 0 und die Nutzengrenze bei x = 91,607...

b. Berechnung des Gewinnmaximums:

Ansatz: G'(x) = 0 und G''(x) < 0
-0,04x - 20 = 0
-0,04x = 20
x = -500

Das Gewinnmaximum liegt bei x = 0 und beträgt 2.000 GE.
 
Aufgabe 5: (14 Punkte)
Gegeben seien folgende empirisch ermittelte Kosten und Erlöse:

Menge

Kosten

Erlöse

3

50

15

4

70

30
  1. Es wird von einem linearen Kostenverlauf ausgegangen. Berechne die Kostenfunktion.
  2. Die Erlösfunktion sei eine Parabel mit folgender Gleichung E(x) = ax² +ax + b. Bestimme die Kooeffizienten.
a. Berechnung der Kostenfunktion:

Zwei-Punkte-Form:
(y - 50) / (x - 3) = (70 - 50) / (4 - 3)
(y - 50) / (x - 3) = 20
y - 50 = 20x - 60
y = 20x - 10

Die Kostenfunktion lautet: K(x) = 20x - 10.

b. Berechnung der Erlösfunktion:

Aufstellen des Gleichungssystems:

  ax2 +ax +b = E(x)  
A(3;15) 9a +3a +b = 15 (1)
B(4;30) 16a +4a +b = 30 (2)

Also:

12a +b = 15 (1a)
20a +b = 30 (2a)

Aus (1a) folgt:
b = 15 - 12a

Aus (2a) folgt:
b = 30 - 20a

Dies gleichgesetzt ergibt:
15 - 12a = 30 - 20a
8a = 15
a = 15/8

Dies eingesetzt in (1a) ergibt:
45/2 + b = 15
b = -15/2

Also lautet die Erlösfunktion: E(x) = 15/8x² + 15/8x - 15/2 oder E(x) = x² + x - 4.
Fragen karlheinz@luk-korbmacher.de