kl133

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Schul-
jahr
2004/
2005

Aufgabe 1:
Ein Bausparvertrag mit einer Vertragssumme von 200.000,00 EUR wird durch einmalige Zahlung von 20.000,00 EUR und jährliche vorschüssige Einzahlungen von 7.500,00 EUR angespart. Das Guthaben wird mit 3,5 % verzinst.

a. Am Ende welchen Jahres beträgt das Guthaben mindestens 50 % der Bausparsumme?
(8 Punkte)

Gegeben/gesucht beim Ansparen:

K₀ = 20.000 EUR

r = 7.500 EUR

vorschüssig

p = 3,5 %

n = ?

E_n = 100.000 EUR

Anzuwendende Formel: E_n = K₀ * qⁿ + {[r * q * (qⁿ - 1)] / (q - 1)}

100.000 = 20.000 * 1,035ⁿ + {[7.500 * 1,035 * (1,035ⁿ - 1)] / (1,035 - 1)}	* 0,035
3.500 = 700 * 1,035ⁿ + [7.500 * 1,035 * (1,035ⁿ - 1)]	ausmultiplizieren
3.500 = 700 * 1,035ⁿ + 7.762,5 * 1,035ⁿ - 7.762,5	+ 7.762,5 und ausrechnen
11.262,5 = 8.462,5 * 1,035ⁿ	/ 8.462,5
1,3308... = 1,035ⁿ	log
log (1,3308...) = log (1,035ⁿ)	3. Logarithmen-Gesetz
log (1,3308...) = n * log (1,035)	/ log (1,035)
n = 8,308...

Am Ende des neunten Jahres ist bereits mehr als die Hälfte der Bausparsumme angespart.

b. Nach Zuteilung des Vertrags (= Erreichen von 50 % der Bausparsumme) wird ein Bauspardarlehen von 50 % der Vertragssumme zu 5 % ausgezahlt. Durch Zahlungen von Annuitäten in Höhe von 12.000,00 EUR jeweils am Jahresende soll es getilgt werden. Erstelle für die ersten drei Jahre einen Tilgungsplan. Der Tilgungsplan soll für jedes Jahr Zinsen, Tilgung, Annuität und Restschuld am Ende des Jahres ausweisen.
(6 Punkte)

Jahr	Zinsen	Tilgung	Annuität	Restschuld
1	5.000,00	7.000,00	12.000,00	93.000,00
2	4.650,00	7.350,00	12.000,00	85.650,00
3	4.282,50	7.717,50	12.000,00	77.932,50

c. Nach wieviel Jahren ist die Schuld ausgeglichen?
(5 Punkte)

Gegeben/gesucht beim Darlehen:

K = 100.000 EUR

A = 12.000 EUR

p = 5 %

n = ?

anzuwendende Formel: A = T₁ * qⁿ

12.000 = 7.000 * 1,05ⁿ	/ 7.000
1,7142... = 1,05ⁿ	log
log (1,7142...) = log (1,05ⁿ)	3. Logarithmen-Gesetz
log (1,7142...) = n * log (1,05)	/ log (1,05)
n = 11,047...

Die Schuld ist nach 12 Jahren getilgt.

d. Durch welchen Betrag könnte die Schuld 15 Jahre nach Abschluß des Bausparvertrages (!) als Sondertilgung getilgt werden?
(8 Punkte)

Gesucht ist die Restschuld nach 6 Jahren.

Anzuwendende Formel:
K = [T₁ * (qⁿ - 1)] / (q - 1)

K₆ = [7.000 * (1,05^6 - 1)] / (1,05 - 1) = 47.613,389...

Also: Restschuld = 100.000,00 - 47.613,39 = 52.386,61 EUR

Die Sondertilgung müßte 52.386,61 EUR betragen.

Aufgabe 2: (21 Punkte)
Es sei f(x) = x³ -6x² +11x -6.

a. Zeige, daß der Graph die x-Achse bei x = 1 schneidet und bestimme weitere Nullstellen.
(7 Punkte)

f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
Also ist x = 1 eine Nullstelle von f.

Also ist (x - 1) ein Linearfaktor.

(x³	-6x²	+11x	-6)	: (x - 1) =	x² - 5x + 6
-(x³	-x²)

	-5x²	+11x
	-(-5x²	+5x)

		+6x	-6
		-(6x	-6)

			0

x² - 5x + 6 = 0
x_1;2 = 5/2 ± sqr(25/4 - 24/4)
x₁ = 3
x₂ = 2

b. Bilde die erste, die zweite und die dritte Ableitung der Funktion.
(3 Punkte)

f'(x) = 3x² -12x +11

f''(x) = 6x -12

f'''(x) = 6

c. Bestimme den Wendepunkt des Graphen.
(6 Punkte)

Ansatz:
f''(x) = 0 und f'''(x_w) <> 0

6x - 12 = 0	+ 12
6x = 12	/ 6
x = 2

Da f'''(2) = 6 <> 0, ist x = 2 Wendestelle von f.

x = 2 ist Nullstelle von f, also:

Wendepunkt (2;0)

d. Wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt (-1;f(-1))?
(5 Punkte)

f(-1) = -1 - 6 - 11 - 6 = -24

f'(-1) = 3 + 12 + 11 = 26

Punkt-Steigungs-Form:
(y + 24) / (x + 1) = 26
y + 24 = 26x + 26
y = 26x + 2

e. Die Tangente an den y-Achsen-Abschnitt einer weiteren Funktion dritten Grades bei y = 4 verlaufe waagerecht. Gleichzeitig befinde sich im Punkt W(1;2) ein Wendepunkt. Stelle das zugehörige Gleichungssystem auf.
(8 Punkte)

[Ableitungen der Normalform:
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a]

	ax³	+bx²	+cx	+d	=	f(x)
W(1;2)	a	+b	+c	+d	=	2	(1)
f''(1) = 0, weil W Wendepunkt	6a	+2b			=	0	(2)
Y(0;4)				d	=	4	(3)
f'(0) = 0, weil Tangente durch Y waagerecht			c		=	0	(4)

Aufgabe 3:
Ein Industriebetrieb, der in einer Marktnische als Monopolist agieren kann, besitzt eine näherungsweise ermittelte Gesamtkostenfunktion von K(x) = 0,5x³ -8x² +48x +100. Die zugehörige Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion) lautet p(x) = -8x +100. 1 ME sei 1.000 Stück. 1 GE sei 1.000,00 EUR.

a. Bestimme den ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich.
(2 Punkte)

Die kleinste produzierbare Menge ist 0.

Ein Preis kleiner als Null ist in gar keinem Fall akzeptabel, daher liegt die größte produzierbare Menge vor, wenn p(x) = 0.
-8x + 100 = 0
-8x = -100
x = 12,5

Der ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich liegt demnach zwischen 0 und 12.500 Stück.

b. Ermittle die Erlös- und Gewinnfunktion.
(4 Punkte)

Erlösfunktion:

E(x) = x * p(x) = -8x² + 100x

Gewinnfunktion:

G(x) = E(x) - K(x) = -8x² + 100x - (0,5x³ -8x² +48x +100) = -0,5x³ +52x -100

c. Ermittle die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den dazu gehörigen Maximalgewinn.
(10 Punkte)

Ansatz: G'(x) = 0 und G''(x) < 0

G'(x) = -1,5x² +52
G''(x) = -3x

-1,5x² +52 = 0
-1,5x² = -52
x² = 104/3
x₁ = 5,8878...
x₂ = -5,8878...

Da die zweite Lösung außerhalb des Definitionsbereichs liegt, ist nur die erste Lösung weiter zu untersuchen.

G''(5,8878...) = -3 * 5,8878... = -17,6635... < 0

Das Gewinnmaximum liegt bei x = 5.888 Stück.

G(5,888) = -0,5 * 5,888³ +52 * 5,888 -100 = 104,111806...

Der Maximalgewinn beträgt demnach 104.111,81 EUR.

d. Die Gewinnschwelle liegt bei x_S = 2 ME und die Gewinngrenze bei x_G = 9,0498756 ME. Skizziere in einem Koordinatensystem die Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion), die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion. Beschrifte die Graphen und kennzeichne alle markanten Punkte.
(8 Punkte)

e. Erläutere kurz den Begriff der Grenzkosten im allgemeinen und ermittle sie für diese Produktion.
(4 Punkte)

Als Grenzkosten wird der Kostenzuwachs einer zusätzlich produzierten Mengeneinheit bezeichnet. Mathematisch gesehen handelt es sich um die erste Ableitung der Kostenfunktion: K'(x) = 1,5x² -16x + 48.

Aufgabe 4:
Diese Aufgabe ist mit den Instrumenten der Matrizenrechnung zu bearbeiten!

Ein Betrieb verarbeitet die Materialien M₁, M₂, und M₃ zu den Zwischenprodukten Z₁, Z₂ und Z₃ und diese Zwischenprodukte zu den Endprodukten E₁, E₂ und E₃ gemäß folgender Stücklisten:

Stückliste 1:

Materialien	Z₁	Z₂	Z₃
M₁	2	4	5
M₂	1	3	4
M₃	6	2	5

Stückliste 2:

Zwischenprodukte	E₁	E₂	E₃
Z₁	1	2	4
Z₂	3	2	6
Z₃	7	2	1

a. Berechne die Materialkosten für je ein Stück der drei Endprodukte, wenn die Kosten der Materialien pro Stück 1,00 EUR für M₁, 3,00 EUR für M₂, und 0,50 EUR für M₃ betragen.
(6 Punkte)

Berechnung der Produktionsmatrix:

Berechnung der Materialkosten je Endprodukt:

Die Materialkosten betragen für E₁ 186,50 EUR, für E₂ 83,00 EUR und für E₃ 135,50 EUR je Stück.

b. Die Fertigungskosten bei der Produktion der Zwischenprodukte betragen pro Stück 4,00 EUR für Z₁, 3,00 EUR für Z₂ und 11,00 EUR für Z₃. Berechne die variablen Fertigungsstückkosten.
(3 Punkte)

Die Fertigungskosten betragen für E₁ 90,00 EUR, für E₂ 36,00 EUR und für E₃ 45,00 EUR je Stück.

c. Die Endprodukte können zu folgenden Preisen verkauft werden: 360,00 EUR bei E₁, 376,00 EUR bei E₂ und 344,00 EUR bei E₃. Die Fertigungskosten bei der Produktion der Endprodukte betragen je Stück 38,00 EUR für E₁, 42,00 EUR für E₂ und 24,00 EUR für E₃. Die Transportkosten der Zwischenprodukte von Produktionsstätte A nach Produktionsstätte B betragen je Stück 5,50 EUR für Z₁, 55,00 EUR für Z₂ und 9,50 EUR für Z₃. Um wieviel Euro übersteigen die Verkaufserlöse die variablen Stückkosten?
(4 Punkte)

Der Überschuß beträgt für E₁ 40,00 EUR, für E₂ 160,00 EUR und für E₃ 130,00 EUR je Stück.

d. Die Wochenproduktion beträgt 500 ME von E₁, 400 ME von E₂ und 600 ME von E₃. Ermittle den Wochengewinn, wenn 85.000 EUR Fixkosten zu berücksichtigen sind.
(4 Punkte)

Also beträgt der Wochengewinn 162.000 - 85.000 = 77.000 EUR.

e. Für die Erledigung eines Sonderauftrags wurden 1.680 Stück von M₁, 1.260 Stück von M₂, und 1.740 Stück von M₃ benötigt. Wieviele Endprodukte wurden gefertigt?
(7 Punkte)

Lösung mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus:

Tableau 1:

x₁	x₂	x₃	y
49	22	37	1.680	(1)
38	16	26	1.260	(2)
47	26	41	1.740	(3)

Tableau 2:

49	22	37	1.680	(1)
0	52	132	2.100	(2a)=38(1)-49(2)
0	-240	-270	-6.300	(3a)=47(1)-49(3)

Tableau 3:

49	22	37	1.680	(1)
0	52	132	2.100	(2a)
0	0	-17.640	-176.400	(3b)=-240(2a)+52(3a)

Aus (3b) folgt:
x₃ = 10

Dies in (2a) eingesetzt ergibt:
52x₂ + 1.320 = 2.100
x₂ = 15

Beides in (1) eingesetzt ergibt:
49x₁ +330 +370 = 1.680
x₁ = 20

Von E₁ konnten 20 ME, von E₂ 15 ME und von E₃ 10 ME hergestellt werden.

f. Aufgrund technischer Einschränkungen können die Endprodukte stets nur im Verhältnis 2 : 1 : 3 hergestellt werden. Ein Kunde fragt an, ob kurzfristig (also ohne Nachbestellung von Materialien) 12 ME von E₁, 6 ME von E₂ und 18 ME von E₃ geliefert werden können. Das Lager teilt mit, daß von M₁ 1.384 Stück , von M₂ 2.888 Stück und von M₃ 1.604 Stück vorrätig sind. Kann der Auftrag angenommen werden?
(4 Punkte)

Ansatz:

Also ist zu prüfen:
(1): 98x + 22x +111x = 1.384 => 2x >= 12 ?
(2): 76x +16x +78x = 2.888 => x >= 6 ?
(3): 94x + 26x +123x = 1.604 => 3x >= 18 ?

(1):
231x = 1.384
x = 5,99...

Es fehlen einige Materialien M₁, also kann der Auftrag nicht kurzfristig ausgeführt werden.

Fragen

karlheinz@luk-korbmacher.de