Aufgabe 1: (100 Punkte)
In einem Betrieb werden aus vier Rohstoffen drei
Bauteile hergestellt, die in einer zweiten
Produktionsstufe zu drei Fertigprodukten gemäß
folgender Stücklisten weiterverarbeitet werden.Stückliste
1:
Rohstoffe
|
ME je Bauteil
|
B1
|
B2
|
B3
|
R1
|
2
|
1
|
4
|
R2
|
1
|
3
|
0
|
R3
|
3
|
0
|
1
|
R4
|
0
|
2
|
3
|
Stückliste 2:
Bauteile
|
ME je Fertigprodukt
|
F1
|
F2
|
F3
|
B1
|
4
|
0
|
2
|
B2
|
1
|
3
|
0
|
B3
|
1
|
2
|
3
|
- Die Wochenproduktion beträgt 500 ME von
F1, 400 ME von F2
und 600 ME von F3. Berechne
die Gesamtkosten für die
Wochenproduktion, wenn die Kosten der
Rohstoffe pro ME 1,00 € für R1,
3,00 € für R2, 0,50
€ für R3 und 1,50 €
für R4 betragen. Und die
variablen Stückkosten der Bauteile 4,00
€ für B1, 3,00 €
für B2 und 11,00 € für
B3 betragen. Und die variablen
Stückkosten für die Fertigprodukte
38,00 € für F1, 42,00
€ für F2 und 24,00
€ für F3 betragen. Die
fixen Kosten je Woche betragen 45.000,00
€.
- Die Verkaufspreise pro ME betragen 160,00
€ für F1, 176,00 €
für F2 und 144,00 € für
F3. Berechne den Gewinn, wenn
die Wochenproduktion vollständig
verkauft werden kann.
- Die Verkaufspreise je ME stehen offenbar
im Verhältnis 1 : 1,1 : 0,9 zueinander.
Wie hoch müssen die Verkaufspreise je ME
beim break-even sein?
- Wie hoch müssen die Verkaufspreise je ME
sein, wenn ein Gewinn von 10 % der
Selbstkosten erzielt werden soll?
- Der Vorrat an Bauteilen betrage für eine
Woche 440 ME von B1, 250 ME
von B2 und 430 ME von B3.
Berechne wieviele Fertigprodukte
hergestellt werden können, wenn die
vorhandenen Bauteile vollständig
aufgebraucht werden sollen.
|
| a.
Nullstellen: Ansatz:
f(x) = 0
| 1/12*x4 -1/6*x3
- x2 = 0 |
x2 ausklammern |
| x2 * (1/12*x2
-1/6*x -1) = 0 |
|
| x1
= 0 oder 1/12*x2 -1/6*x
-1 = 0 |
|
| 1/12*x2 -1/6*x
-1 = 0 |
* 12 |
| x2 -2*x -12 =
0 |
p-q-Formel |
| x = 1 ± sqr(1 + 12) |
sqr |
| x2
= 4,6055... und x3 =
-2,6055... |
|
b. Ordinatenabschnitt:
Ansatz:
f(0) = y
f(0) = 0
c. Extrempunkte:
Ansatz:
f'(x) = 0 und f''(x) <> 0
f'(x) = 1/3*x3 -1/2*x2
-2x
f''(x) = x2 -x -2
| 1/3*x3 -1/2*x2
-2x = 0 |
x ausklammern |
| x * (1/3*x2
-1/2*x -2) = 0 |
|
| x1
= 0 oder 1/3*x2 -1/2*x
-2 = 0 |
|
| 1/3*x2 -1/2*x
-2 = 0 |
* 3 |
| x2 -3/2*x -6 =
0 |
p-q-Formel |
| x = 3/4 ± sqr(9/16 + 6) |
sqr |
| x2
= 3,3117... und x3 =
-1,8117... |
|
f''(0) = -2 < 0 => Hochpunkt
f''(3,3117...) = 10,967... -3,3117... -2 >
0 => Tiefpunkt
f''(-1,8117...) = 3,282... +1,8117... -2 >
0 => Tiefpunkt
f(0) = 0 => HP(0;0)
f(3,3117...) = -6,9972... => TP1(3,3117...;-6,9972...)
f(-1,8117...) = -1,3934... => TP2(-1,8117...;-1,3934...)
d. Wendepunkte:
Ansatz:
f''(x) = 0 und f'''(x) <> 0
f''(x) = x2 -x -2
f'''(x) = 2x -1
| x2 -x -2 = 0 |
p-q-Formel |
| x = 1/2 ± sqr(1/4 + 2) |
sqr |
| x1
= 2 und x2
= -1 |
|
f'''(2) = 3 <> 0 => Wendepunkt
f'''(-1) = -3 <> 0 => Wendepunkt
f(2) = -4 => W1(2;-4)
f(-1) = -0,75 => W2(-1;-0,75)
e. Graph:
f1.
Nullstellentangenten:
Ansatz:
Steigung = f'(xn) in Punkt-Steigungsform
einsetzen.
f'(x) = 1/3*x3 -1/2*x2
-2x
f'(0) = 0 => t1(x)
= 0 [= x-Achse!]
f'(4,6055...) = 12,7462...
| (y - 0) / (x - 4,6055...)
= 12,7462... |
* (x -4,6055...) |
| y = 12,7462...*x
-58,7036... |
|
t2(x) =
12,7462...*x -58,7036...
f'(-2,6055...) = -4,0796...
| (y - 0) / (x +2,6055...)
= -4,0796... |
* (x +2,6055...) |
| y = -4,0796...*x
-10,6296... |
|
t3(x) =
-4,0796...*x -10,6296...
f2. Länge der
Grundlinie:
g = 4,6055... + 2,6055... = 7,211102...
f3. Länge der Höhe:
Ansatz:
Schnittpunkt der Tangenten t2 und t3:
| 12,7462...*x -58,7036...
= -4,0796...*x -10,6296... |
+ 58,7036... |
| 12,7462...*x =
-4,0796...*x +48,0740... |
+4,0796...*x |
| 16,8259...*x = 48,0740... |
/ 16,8259... |
| x = 2,8571... |
/ 16,8259... |
t2(2,8571...) = -22,2857...
h = 22,2857...
f4. Fläche des
Dreiecks:
Ansatz:
A = (g * h) / 2
A = 7,211102... * 22,2857... / 2 = 80,35228...
|
