kl149

Aufgaben-Hilfe

Dritte
Klas-
sen-
arbeit
in der
HH2b
Schul-
jahr
2005/
2006

Aufgabe 1:
Ein Bauherr nimmt einen Kredit in Höhe von 230.000 EUR auf, der innerhalb von insgesamt 15 Jahren durch Annuitätentilgung zurückgezahlt werden soll. Der Zinssatz in Höhe von 5,8 % wird für die ersten 10 Jahre festgeschrieben; danach gilt p = 7,5.

a. Bestimme eine Anfangsannuität und stelle für die ersten fünf Jahre einen Tilgungsplan auf.
(6 Punkte)

Gegeben/gesucht:

K = 230.000 EUR

p = 5,8 %

n = 15 Jahre

A = ? EUR

Anzuwendende Formel: A = [K * qⁿ * (q - 1)] / (qⁿ - 1)

A = [230.000 * 1,058¹⁵ * (1,058 - 1)] / (1,058¹⁵ - 1)	ausrechnen
A = 23.372,9446...

Eine Anfangsannuität beträgt 23.372,94 EUR.

Jahr	Zinsen	Tilgung	Annuität	Restschuld
1	13.340,00	10.032,94	23.372,94	219.967,06
2	12.758,09	10.614,85	23.372,94	209.352,21
3	12.142,43	11.230,51	23.372,94	198.121,70
4	11.491,06	11.881,88	23.372,94	186.239,82
5	10.801,91	12.571,03	23.372,94	173.668,79

b. Wie hoch ist die Restschuld nach 10 Jahren? Diese Restschuld soll nicht durch einen fortgesetzten Tilgungsplan ermittelt werden!
(4 Punkte)

Anzuwendende Formel:
K = [T₁ * (qⁿ - 1)] / (q - 1)

K₁₀ = [10.032,94 * (1,058^10 - 1)] / (1,058 - 1) = 131.006.5967...

Also: Restschuld = 230.000,00 - 131.006.60 = 98.993,40 EUR

c. Stelle für die letzten fünf Jahre einen Tilgungsplan auf.
(6 Punkte)

Gegeben/gesucht:

K = 98.993,40 EUR

p = 7,5 %

n = 5 Jahre

A = ? EUR

Anzuwendende Formel: A = [K * qⁿ * (q - 1)] / (qⁿ - 1)

A = [98.993,4 * 1,075⁵ * (1,075 - 1)] / (1,075⁵ - 1)	ausrechnen
A = 24.467,6765...

Eine neue Annuität beträgt 24.467,68 EUR.

Jahr	Zinsen	Tilgung	Annuität	Restschuld
11	7.424,51	17.043,17	24.467,68	81.950,23
12	6.146,27	18.322,41	24.467,68	63.628,82
13	4.772,16	19.695,52	24.467,68	43.933,30
14	3.295,00	21.172,68	24.467,68	22.760,62
15	1.707,05	22.760,63	24.467,68	-0,01

d. Wieviel Euro Zinsen zahlt der Bauherr insgesamt während der Tilgungszeit? Die Zinsen sollen nicht einem Tilgungsplan entnommen werden.
(5 Punkte)

Anzuwendende Formel:
A = T_i + Z_i mit i = 1, 2, 3, ..., 15

Also:
(10 * 23.372,94) + (5 * 24.467,68) = 230.000 + Z

Die insgesamt gezahlten Zinsen betragen 126.067,80 EUR.

Aufgabe 2:
Es sei f(x) = x³ -6x² +11x -6.

a. Zeige, daß der Graph die x-Achse bei x = 1 schneidet und bestimme weitere Nullstellen.
(7 Punkte)

f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
Also ist x = 1 eine Nullstelle von f.

Also ist (x - 1) ein Linearfaktor.

(x³	-6x²	+11x	-6)	: (x - 1) =	x² - 5x + 6
-(x³	-x²)

	-5x²	+11x
	-(-5x²	+5x)

		+6x	-6
		-(6x	-6)

			0

x² - 5x + 6 = 0
x_1;2 = 5/2 ± sqr(25/4 - 24/4)
x₁ = 3
x₂ = 2

b. Bilde die erste, die zweite und die dritte Ableitung der Funktion.
(3 Punkte)

f'(x) = 3x² -12x +11

f''(x) = 6x -12

f'''(x) = 6

c. Bestimme den Wendepunkt des Graphen.
(6 Punkte)

Ansatz:
f''(x) = 0 und f'''(x_w) <> 0

6x - 12 = 0	+ 12
6x = 12	/ 6
x = 2

Da f'''(2) = 6 <> 0, ist x = 2 Wendestelle von f.

x = 2 ist Nullstelle von f, also:

Wendepunkt (2;0)

d. Wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt (-1;f(-1))?
(5 Punkte)

f(-1) = -1 - 6 - 11 - 6 = -24

f'(-1) = 3 + 12 + 11 = 26

Punkt-Steigungs-Form:
(y + 24) / (x + 1) = 26
y + 24 = 26x + 26
y = 26x + 2

e. Die Tangente an den y-Achsen-Abschnitt einer weiteren Funktion dritten Grades bei y = 4 verlaufe waagerecht. Gleichzeitig befinde sich im Punkt W(1;2) ein Wendepunkt. Stelle das zugehörige Gleichungssystem auf.
(8 Punkte)

[Ableitungen der Normalform:
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a]

	ax³	+bx²	+cx	+d	=	f(x)
W(1;2)	a	+b	+c	+d	=	2	(1)
f''(1) = 0, weil W Wendepunkt	6a	+2b			=	0	(2)
Y(0;4)				d	=	4	(3)
f'(0) = 0, weil Tangente durch Y waagerecht			c		=	0	(4)

Aufgabe 3:
Die Gesamtkosten eines Betriebes sind durch eine Funktion 3. Grades festgelegt. Die Erlösfunktion lautet E(x) = 25x. Die folgende Tabelle enthält die Gesamtkosten in GE für x ME:

ME	x	0	2	3	4
GE	K(x)	8	32	35	40

a. Zeige, daß es sich um die Funktion K(x) = x³ -8x² +24x +8 handelt.
(6 Punkte)

Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems:

	ax³	+bx²	+cx	+d	=	K(x)
(4;40)	64a	+16b	+4c	+d	=	40	(1)
(3;35)	27a	+9b	+3c	+d	=	35	(2)
(2;32)	8a	+4b	+2c	+d	=	32	(3)
(0;8)				d	=	8	(4)

Einsetzen von (4) in die Gleichungen (1), (2) und (3) mit gleichzeitigem Vereinfachen:

ax³	+bx²	+cx	=	K(x)
64a	+16b	+4c	=	32	(1a)
27a	+9b	+3c	=	27	(2a)
8a	+4b	+2c	=	24	(3a)

Vereinfachen durch Division:

ax³	+bx²	+cx	=	K(x)
16a	+4b	+c	=	8	(1b)
9a	+3b	+c	=	9	(2b)
4a	+2b	+c	=	12	(3b)

Eleminieren von c:

ax³	+bx²	+cx	=	K(x)
16a	+4b	+c	=	8	(1b)
7a	+b		=	-1	(2c) = (1b) - (2b)
12a	+2b		=	-4	(3c) = (1b) - (3b)

Eleminieren von b:

ax³	+bx²	+cx	=	K(x)
16a	+4b	+c	=	8	(1b)
7a	+b		=	-1	(2c)
2a			=	2	(3d) = 2 * (2c) - (3c)

Aus (3d) folgt:
a = 1

Aus a = 1 und (2c) folgt:
7 + b = -1, also b = -8

Aus a = 1, b = -8 und (1b) folgt:
16 -32 + c = 8, also c = 24

Also lautet K(x) = x³ -8x² +24x +8.

b. Berechne die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze.
(6 Punkte)

Ansatz:
E(x) = K(x)

25x = x³ -8x² +24x +8, also = -x³ +8x² +x -8 = 0

Für x = 1 gilt:
-1 + 8 + 1 - 8 = 0, also ist x = 1 eine Nullstelle der obigen Funktion. Der Linearfaktor lautet: (x - 1).

Polynomdivision:

(-x³	+8x²	+x	-8)	: (x - 1) =	-x² + 7x + 8
-(-x³	+x²)

	+7x²	+x
	-(7x²	-7x)

		+8x	-8
		-(8x	-8)

			0

x² - 7x - 8 = 0
x_1;2 = 7/2 ± sqr(49/4 + 32/4)
x₁ = 8
x₂ = -1; ökonomisch nicht relevante Lösung!

Die Nutzenschwelle liegt bei einer Menge von 1 und die Nutzengrenze liegt bei einer Menge von 8.

c. Bestimme die Gewinnfunktion und erläutere kurz, warum ihre Nullstellen bereits bekannt sind.
(2 Punkte)

Gewinnfunktion:

G(x) = E(x) - K(x) = 25x - (x³ -8x² +24x +8) = -x³ +8x² +x -8

Die Nullstellen wurden in Teilaufgabe 3b) bereits bestimmt.

d. Berechne das Gewinnmaximum.
(6 Punkte)

Ansatz: G'(x) = 0 und G''(x) < 0

G'(x) = -3x² + 16x + 1
G''(x) = -6x + 16

-3x² + 16x + 1 = 0
x² -16/3x -1/3 = 0
x₁ = 5,3951176...
x₂ = -0,061...

Da die zweite Lösung ökonomisch nicht relevant ist, ist nur die erste Lösung weiter zu untersuchen.

G''(5,3951176...) = -6 * 5,3951176.... + 16 = -32,370706... < 0

Das Gewinnmaximum liegt bei x = 5,3951176 ME.

-x³ +8x² +x -8

G(5,3951176...) = -5,3951176...³ + 8 * 5,3951176...² + 5,3951176... - 8 = 73,216195...

Das Gewinnmaximum beträgt demnach 73,22 GE.

e. Zeichne die Graphen im Koordinatensystem mit 1 ME = 1 cm und 10 GE = 1 cm.
(6 Punkte)

Graphen von Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion

Aufgabe 4:
Diese Aufgabe ist so weit wie möglich mit den Instrumenten der Matrizenrechnung zu bearbeiten!

Ein Betrieb verarbeitet die Materialien M₁, M₂, und M₃ zu den Zwischenprodukten Z₁, Z₂, Z₃ und Z₄ und diese Zwischenprodukte zu den Endprodukten E₁, E₂ und E₃ gemäß folgender Stücklisten.

Außerdem gilt, daß wöchentlich von E₁ 220 Stück, von E₂ 180 Stück und von E₃ 100 Stück hergestellt werden; die Materialkosten der Reihe nach 1,30 EUR, 4,75 EUR und 0,80 EUR betragen; die Fertigungskosten für die Zwischenprodukte der Reihe nach 14,50 EUR, 15,00 EUR, 32,30 EUR und 28,50 EUR betragen; die Fertigungskosten für die Endprodukte der Reihe nach 121,00 EUR, 99,50 EUR und 145,00 EUR betragen; an fixen Kosten wöchentlich 150.000,00 EUR anfallen und die Verkaufspreise der Endprodukte der Reihe nach 1.009,50 EUR, 757,10 EUR und 1.514,25 EUR betragen.

Stückliste 1:

Materialien	Z₁	Z₂	Z₃	Z₄
M₁	1	2	4	0
M₂	3	0	2	6
M₃	0	1	4	3

Stückliste 2:

Zwischenprodukte	E₁	E₂	E₃
Z₁	2	1	3
Z₂	2	0	4
Z₃	5	2	0
Z₄	1	3	6

a. Berechne die Materialkosten für je ein Stück der drei Endprodukte und die wöchentlichen Materialkosten.
(8 Punkte)

Berechnung der Produktionsmatrix:

Berechnung der Materialkosten je Endprodukt:

Die Materialkosten betragen für E₁ 158,30 EUR, für E₂ 144,05 EUR und für E₃ 245,65 EUR je Stück.

Berechnung der wöchentlichen Materialkosten:

Die wöchentlichen Materialkosten betragen 85.320,00 EUR.

b. Berechne die Menge der Zwischenprodukte, die wöchentlich bei der Herstellung der Endprodukte benötigt werden.
Wie hoch sind die wöchentlichen Fertigungskosten der Zwischenprodukte?
(5 Punkte)

Berechnung der wöchentlichen Verbrauchsmenge der Zwischenprodukte:

Berechnung der wöchentlichen Fertigungskosten für die Zwischenprodukte:

Die wöchentlichen Fertigungskosten für die Zwischenprodukte betragen 111.858,00 EUR.

c. Berechne die wöchentlich anfallenden Fertigungskosten bei der Herstellung der Endprodukte.
(1 Punkt)

Berechnung der wöchentlichen Fertigungskosten für die Endprodukte:

Die wöchentlichen Fertigungskosten für die Endprodukte betragen 59.030,00 EUR.

d. Wie hoch sind die wöchentlichen Gesamtkosten?
(1 Punkt)

Die wöchentlichen Gesamtkosten betragen demnach 406.208,00 EUR.

e. Berechne den wöchentlichen Erlös und den wöchentlichen Gewinn in EUR und in Prozent vom Umsatz
(3 Punkte)

Der wöchentliche Erlös beträgt demnach 509.793,00 EUR.

Der wöchentliche Gewinn beträgt demnach 103.585,00 EUR.

Das entspricht vom Umsatz.

f. Aufgrund technischer Einschränkungen können die Endprodukte stets nur im Verhältnis 4 : 2 : 3 hergestellt werden.
Ein Kunde fragt an, ob kurzfristig (also ohne Nachbestellung von Materialien) 80 Stück von E₁, 42 ME von E₂ und 58 ME von E₃ hergestellt werden können. Das Lager teilt mit, daß von M₁ 3.288 Stück, von M₂ 5.482 Stück und von M₃ 4.244 vorrätig sind. Kann der Auftrag angenommen werden?
(6 Punkte)

Aufgrund des Mengenverhältnisses bei der Produktion müßten für diesen Auftrag 84 Stück von E₁, 42 ME von E₂ und 63 ME von E₃ hergestellt werden.

Ansatz:

Es gilt:

Also fehlen einige Materialien M₂, also kann der Auftrag nicht kurzfristig ausgeführt werden.

Fragen

karlheinz@luk-korbmacher.de