137_6

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Seite 137, Nr. 6

a) Ermittlung von Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion:

E(x) = 20x, da der Preis 20 GE je ME beträgt.

Aufstellen des Gleichungssystems zur Berechnung der Gesamtkosten (in ZGE bei ZME):

	ax³	+bx²	+cx	+d	=	f(x)
fixe Kosten				+d	=	40	(1)
bei 4 ME	64a	+16b	+4c	+d	=	80	(2)
bei 5 ME	125a	+25b	+5c	+d	=	85	(3)
bei 10 ME	1.000a	+100b	+10c	+d	=	140	(4)

Einsetzen von (1) in (2), (3) und (4):

64a	+16b	+4c	=	40	(2a)
125a	+25b	+5c	=	45	(3a)
1.000a	+100b	+10c	=	100	(4a)

Umstellen der Gleichungen zur Vereinfachung der Rechenarbeit:

1.000a	+100b	+10c	=	100	(4a)
125a	+25b	+5c	=	45	(3a)
64a	+16b	+4c	=	40	(2a)

Gleichungen vereinfachen:

100a	+10b	+c	=	10	(4b)=(4a)/10
25a	+5b	+c	=	9	(3b)=(3a)/5
16a	+4b	+c	=	10	(2b)=(2a)/4

Eleminieren von c in (2b) und (3b):

100a	+10b	+c	=	10	(4b)
75a	+5b		=	1	(3c)=(4b)-(3b)
84a	+6b		=	0	(2c)=(4b)-(2a)

Gleichungen vereinfachen:

100a	+10b	+c	=	10	(4b)
15a	+b		=	1/5	(3d)=(3c)/5
14a	+b		=	0	(2d)=(2c)/6

Eleminieren von b in (2c):

100a	+10b	+c	=	10	(4b)
15a	+b		=	1/5	(3d)
a			=	1/5	(2e)=(3d)-(2d)

Aus (2e) ergibt sich:
a = 1/5

Dies in (3d) eingesetzt ergibt:
3 +b = 1/5

und damit:
b = -14/5

Beides in (4b) eingesetzt ergibt:
20 -28 +c = 10

und damit:
c = 18

Die Kostenfunktionsgleichung lautet: K(x) = 0,2x³-2,8x²+18x +40

Berechnung der Gewinnfunktion:

Ansatz: G(x) = E(x) - K(x)

G(x) = 20x - [0,2x³ - 2,8x² + 18x + 40] = -0,2x³ + 2,8x² + 2x - 40

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b) Ermittlung von Nutzenschwelle und Nutzengrenze:

Ansatz: G(x) = 0

-0,2x³+ 2,8x²+ 2x - 40 = 0			/ (-0,2)
x³-14x²-10x + 200 = 0

Da E(4) = 80 = K(4), also G(4) = 0, ist (x - 4) Linearfaktor.
Polynomdivision:

(x³	-14x²	-10x	+200)	: (x - 4) =	x² - 10x - 50
-(x³	-4x²)

	-10x²	-10x
	-(-10x²	+40x)

		-50x	+200
		-(-50x	+200)

			0

Also:

x² - 10x - 50 = 0			p-q-Formel anwenden
x = 5 ± sqr(5² + 50)
x = 5 ± sqr(75)
x ~ 13,66 oder x ~ -3,66

Nutzenschwelle ist demnach eine Menge von 4 ME = 4.000 Stück und Nutzengrenze ist eine Menge von 13,66 ME = 13.660 Stück.

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c) Ermittlung von neuer Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion und neuer Nutzenschwelle und neuer Nutzengrenze:

E(x) = 16x, da der Preis jetzt 16 GE je ME beträgt.

Berechnung der neuen Kostenfunktion:

Ansatz: K(x)_alt - Verringerung der Abschreibung

K(x) = 0,2x³ - 2,8x² + 18x + 40 - 16 = 0,2x³ - 2,8x² + 18x + 24

Berechnung der neuen Gewinnfunktion:

Ansatz: G(x) = E(x) - K(x)

G(x) = 16x - [0,2x³ - 2,8x² + 18x + 24] = -0,2x³ + 2,8x² - 2x - 24

Ermittlung von neuer Nutzenschwelle und neuer Nutzengrenze:

Ansatz: G(x) = 0

-0,2x³+ 2,8x²- 2x - 24 = 0			/ (-0,2)
x³-14x²+ 10x + 120 = 0

Da E(4) = 64 = K(4), also G(4) = 0, ist (x - 4) Linearfaktor.
Polynomdivision:

(x³	-14x²	+10x	+120)	: (x - 4) =	x² - 10x - 30
-(x³	-4x²)

	-10x²	+10x
	-(-10x²	+40x)

		-30x	+120
		-(-50x	+120)

			0

Also:

x² - 10x - 30 = 0			p-q-Formel anwenden
x = 5 ± sqr(5² + 30)
x = 5 ± sqr(55)
x ~ 12,416 oder x ~ -2,416

Die neue und alte Nutzenschwelle ist demnach eine Menge von 4 ME = 4.000 Stück und die neue Nutzengrenze ist eine Menge von 12,416 ME = 12.416 Stück.

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d) Graphen der beiden Gewinnfunktionen:

Graphen der Gewinnfunktionen

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e) Ermittlung der variablen Stückkosten und des Minimums der variablen Stückkosten (= kurzfristige Preisuntergrenze = Betriebsminimum):

Ansatz: k_v(x) = [K(x) - K_f(x)] / x

k_v(x) = (0,2x³ - 2,8x² + 18x) / x = 0,2x² - 2,8x + 18

k_v(x) = 0,2x^²-2,8x+18			Ausklammern von 0,2
k_v(x) = 0,2 * (x^²-14x+90)			quadratische Ergänzung mit 7²
k_v(x) = 0,2 * [(x^²-14x + 7²) - 7² +90]			binomische Formel anwenden
k_v(x) = 0,2 * [(x- 7)² + 41]			Ausmultiplizieren
k_v(x) = 0,2 * (x- 7)² + 8,2			(Scheitelpunktform)

Das Minimum der variablen Stückkosten liegt demnach bei 7 ME = 7.000 Stück und beträgt 8,2 GE = 8.200 EUR.

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karlheinz@luk-korbmacher.de