Seite 297, Nr. 4, b):

f(x) = 1/6x³ -3/2x

Ansatz zur Berechnung der Nullstellen:
f(x) = 0

Berechnung:
0 = 1/6x³ -3/2x

Nullstellen für f(x) befinden sich bei x₁ = 0 und x₂ = 3 und x₃ = -3.

Ansatz zur Ermittlung von möglichen Extremstellen:
f'(x) = 0

Berechnung:
f(x) = 1/6x³ -3/2x
f'(x) = 1/2x² -3/2

0 = 1/2x² -3/2

Mögliche Extremstellen für f(x) sind x₁ = sqr(3) und x₂ = -sqr(3).

Ansatz zur Prüfung auf das Vorliegen von Extrempunkten:
f''(x_1,2) <> 0

Berechnung:
f''(x) = x

f''(sqr(3)) = sqr(3) > 0 => Minimum

f''(-sqr(3)) = -sqr(3) < 0 => Maximum

Ansatz zur Berechnung der Funktionswerte der Extrempunkte:
f(x_1,2) = 1/6x_1,2³ -3/2x_1,2

Berechnung:
f(sqr(3)) = 1/6*(sqr(3))³ -3/2*sqr(3) = -sqr(3)

f(-sqr(3)) = 1/6*(-sqr(3))³ -3/2*(-sqr(3)) = sqr(3)

Minimum(sqr(3);-sqr(3))

Maximum(-sqr(3);sqr(3))

Ansatz zur Ermittlung von möglichen Wendestellen:
f''(x) = 0

Berechnung:
x = 0

Mögliche Wendestelle für f(x) ist bei x = 0.

Ansatz zur Prüfung auf das Vorliegen eines Wendepunktes:
f'''(0) <> 0

Berechnung:
f'''(x) = 1, also
f'''(0) = 1 <> 0

Also liegt an der Wendestelle x = 0 ein Wendepunkt vor.

Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Wendepunkte:
f(0) = y

Berechnung:
f(0) = 0

Die Koordinaten des Wendepunktes lauten: W(0;0).

Ansatz zur Berechnung der Steigung der Wendetangenten:
f'(0) = m

Berechnung:
f'(0) = -3/2

Die Steigung der beträgt -3/2.

Ansatz zur Berechnung der Gleichung der Wendetangenten f(x_w) = mx +b:
(y - 0) / (x - 0) = -3/2

f(x_w) = -3/2x