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f(x) = x² * (1/9x² - 1)

Ansatz zur Berechnung der Nullstellen:
f(x) = 0

Berechnung:
0 = x² * (1/9x² - 1)
Also: 0 = x² oder 0 = 1/9x² - 1
Also: x₁ = 0
oder
1/9x² = 1
x² = 9
x₂ = 3
x₃ = -3

Nullstellen für f(x) befinden sich bei x₁ = 0 und x₂ = 3 und x₃ = -3.

Ableitungen:
f(x) = x² * (1/9x² - 1) = 1/9x⁴ - x²
f'(x) = 4/9x³ - 2x
f''(x) = 4/3x² - 2
f'''(x) = 8/3x

Ansatz zur Ermittlung von möglichen Extremstellen:
f'(x) = 0

Berechnung:
0 = 4/9x³ - 2x

Mögliche Extremstellen für f(x) sind x₁ = 0 und x₂ = sqr(9/2) und x₃ = -sqr(9/2).

Ansatz zur Prüfung auf das Vorliegen von Extrempunkten:
f''(x_1,2,3) <> 0

Berechnung:

f''(0) = 4/3 * 0² - 2 = - 2 < 0 => Maximum

f''(x₂) = 4/3 * sqr(9/2)² - 2 = 4/3 * 9/2 - 2 = 4 > 0 => Minimum

f''(x₃) = 4/3 * (-sqr(9/2))² - 2 = 4/3 * 9/2 - 2 = 4 > 0 => Minimum

Ansatz zur Berechnung der Funktionswerte der Extrempunkte:
f(x_1,2,3) = 1/9x_1,2,3⁴ - x_1,2,3²

Berechnung:
f(0) = 0

f(x₂) = 1/9*(sqr(9/2))⁴ - (sqr(9/2))²
f(x₂) = 1/9*9/2*9/2 - 9/2
f(x₂) = 1/2*9/2 - 9/2
f(x₂) = - 9/4

f(x₃) = 1/9*(-sqr(9/2))⁴ - (-sqr(9/2))²
f(x₃) = 1/9*9/2*9/2 - 9/2
f(x₃) = 1/2*9/2 - 9/2
f(x₃) = - 9/4

erstes Minimum(sqr(9/2);-9/4)

zweites Minimum(-sqr(9/2);-9/4)

Maximum(0;0)

Ansatz zur Ermittlung von möglichen Wendestellen:
f''(x) = 0

Berechnung:
0 = 4/3x² - 2
x² = 3/2
x_1,2 = ±sqr(3/2)

Mögliche Wendestellen für f(x) sind x₁ = sqr(3/2) und x₂ = -sqr(3/2).

Ansatz zur Prüfung auf das Vorliegen eines Wendepunktes:
f'''(0) <> 0

Berechnung:
f'''(sqr(3/2)) = 8/3 * sqr(3/2) > 0
f'''(-sqr(3/2)) = 8/3 * (-sqr(3/2)) < 0

Also liegen an den Wendestellen Wendepunkte vor.

Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Wendepunkte:
f(x_w) = y

Berechnung:
f(sqr(3/2)) = 3/2 * (1/9 * 3/2 - 1) = -5/4
f(-sqr(3/2)) = 3/2 * (1/9 * 3/2 - 1) = -5/4

Die Koordinaten der Wendepunkte lauten: W₁(sqr(3/2);-5/4) und W₂(-sqr(3/2);-5/4).

Ansatz zur Berechnung der Steigung der Wendetangenten:
f'(x_w) = m

Berechnung:
f'(sqr(3/2)) = 4/9 * 3/2 * sqr(3/2) - 2 * sqr(3/2) = -4/3*sqr(3/2)
f'(-sqr(3/2)) = 4/9 * 3/2 * -sqr(3/2) - 2 * -sqr(3/2) = 4/3*sqr(3/2)

Die Steigungen der betragen -4/3*sqr(3/2) und 4/3*sqr(3/2).

Ansatz zur Berechnung der Gleichung der Wendetangenten f(x_w) = mx +b:
(y + y_w) / (x - x_w) = m

Berechnungen:

(y + 5/4) / (x - sqr(3/2)) = -4/3*sqr(3/2)
y = -4/3*sqr(3/2)*x + 3/4

(y + 5/4) / (x + sqr(3/2)) = 4/3*sqr(3/2)
y = 4/3*sqr(3/2)*x + 3/4