Seite 298, Nr. 6, b):

f(x) = 1/2x³ - 2x² - 1/2x + 2

Ansatz zur Berechnung der Nullstellen:
f(x) = 0

Berechnung:
0 = 1/2x³ - 2x² - 1/2x + 2, bzw.
0 = x³ - 4x² - x + 4

Probieren ergibt für x = 1 den Wert 0, also ist x = 1 Lösung der Gleichung.

Der Linearfaktor heißt demnach (x - 1).

Polynomdivision:

Anwenden der p-q-Formel:

Nullstellen für f(x) befinden sich bei x₁ = 4 und x₂ = -1 und x₃ = 1.

Ansatz zur Ermittlung von möglichen Extremstellen:
f'(x) = 0

Berechnung:
f(x) = 1/2x³ - 2x² - 1/2x + 2
f'(x) = 3/2x² - 4x - 1/2

0 = 3/2x² - 4x - 1/2

Anwenden der p-q-Formel:
x_1,2 = 4/3 ± sqr(16/9 + 1/3)
x_1,2 = 4/3 ± sqr(19/9)

Mögliche Extremstellen für f(x) sind x₁ = 4/3 + sqr(19/9) [x₁ = 2,7862...] und x₂ = 4/3 - sqr(19/9) [x₂ = -0,1196...].

Ansatz zur Prüfung auf das Vorliegen von Extrempunkten:
f''(x_1,2) <> 0

Berechnung:
f''(x) = 3x -4

f''(x₁) = 4 + 3 * sqr(19/9) = 8,3588... > 0 => Minimum

f''(x₂) = 4 - 3 * sqr(19/9) = -0,3588... < 0 => Maximum

Ansatz zur Berechnung der Funktionswerte der Extrempunkte:
f(x_1,2) = 1/2x_1,2³ - 2x_1,2² - 1/2x_1,2 + 2

Berechnung:
f(x₁) = 1/2*(4/3 + sqr(19/9))³ - 2*(4/3 + sqr(19/9))² - 1/2*(4/3 + sqr(19/9)) + 2
f(x₁) = -4,1044...

f(x₂) = 1/2*(4/3 - sqr(19/9))³ - 2*(4/3 - sqr(19/9))² - 1/2*(4/3 - sqr(19/9)) + 2
f(x₂) = 2,0303...

Minimum(2,7862...;-4,1044...)

Maximum(-0,1196...;2,0303...)

Ansatz zur Ermittlung von möglichen Wendestellen:
f''(x) = 0

Berechnung:
0 = 3x -4, also
x = 4/3

Mögliche Wendestelle für f(x) ist bei x = 4/3.

Ansatz zur Prüfung auf das Vorliegen eines Wendepunktes:
f'''(0) <> 0

Berechnung:
f'''(x) = 3 <> 0

Also liegt an der Wendestelle x = 4/3 ein Wendepunkt vor.

Ansatz zur Berechnung der Koordinaten des Wendepunktes:
f(4/3) = y

Berechnung:
f(4/3) = 1/2*64/27 - 2*16/9 - 1/2*4/3 + 2 = -28/27

Die Koordinaten des Wendepunktes lauten: W(4/3;-28/27).

Ansatz zur Berechnung der Steigung der Wendetangenten:
f'(4/3) = m

Berechnung:
f'(4/3) = 3/2*16/9 - 16/3 - 1/2 = -19/6

Die Steigung der Wendetangenten beträgt -19/6.

Ansatz zur Berechnung der Gleichung der Wendetangenten f(x_w) = mx +b:
(y + 28/27) / (x - 4/3) = -19/6

f(x_w) = -19/6x + 86/27