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a) Berechnung der Nutzenschwelle N_s und der Nutzengrenze N_g:

Ansatz:
E(x) = K(x)

E(x) = 20x

Berechnung:
20x = x³ - 8x² + 25x + 14
0 = x³ - 8x² + 5x + 14

Probieren ergibt für x = -1 den Wert 0, also ist x = -1 Lösung der Gleichung.

Der Linearfaktor heißt demnach (x + 1).

Allerdings ist diese Lösung ohne Bedeutung, da eine negative Produktionsmenge nicht hergestellt werden kann.

Polynomdivision:

Anwenden der p-q-Formel:

Die Nutzenschwelle befindet sich bei N_s = 2 und die Nutzengrenze N_g = 7.

b) Berechnung des Nutzenmaximums und des maximalen Gewinns:

G(x) = E(x) - K(x) = 20x - (x³ - 8x² + 25x + 14) = -x³ + 8x² - 5x - 14

Ansatz zur Ermittlung von möglichen Extremstellen:
G'(x) = 0

Berechnung:
G'(x) = -3x² + 16x - 5

Anwenden der p-q-Formel:
x_1,2 = 8/3 ± sqr(64/9 - 15/9)
x_1,2 = 8/3 ± sqr(49/9)
x_1,2 = 8/3 ± 7/3
x₁ = 5 und x₂ = 1/3

Mögliche Extremstellen für G(x) sind x₁ = 5 und x₂ = 1/3.

Ansatz zur Prüfung auf das Vorliegen eines Maximums:
G''(x_1,2) < 0

Berechnung:
G''(x) = -6x +16

G''(1/3) = -6 * 1/3 = 14 > 0 => Minimum

G''(5) = -6 * 5 = -14 < 0 => Maximum

Bei 5 ME wird das Nutzenmaximum erreicht.

Ansatz zur Berechnung des Funktionswerts des Maximums:
G(5) = -(5³) + 8*(5²) - 5*5 - 14

Berechnung:
G(5) = -(5³) + 8*(5²) - 5*5 - 14 = 36

Das Gewinnmaximum beträgt 36 GE.

c) Berechnung der Stückkosten und der variablen Stückkosten:

Ansatz zur Ermittlung der Stückkosten:
k(x) = K(x)/x

Berechnung:
k(x) = (x³ - 8x² + 25x + 14)/x = x² - 8x + 25 + 14/x

Ansatz zur Ermittlung der variablen Stückkosten:
v(x) = K_v(x)/x

Berechnung:
v(x) = (x³ - 8x² + 25x)/x = x² - 8x + 25

d) Berechnung der Differentialkosten:

Ansatz zur Ermittlung der Differentialkosten:
d(x) = K'(x)

Berechnung:
d(x) = 3x² - 16x + 25

e) Berechnung der Tabellenwerte

Die Differentialkosten sind bis zur Produktionsmenge von 4 ME niedriger als die Stückkosten.
Ab einer Produktionsmenge von 5 ME übersteigen die Differentialkosten die Stückkosten und den Stückerlös von 20 GE.
Das Betriebsoptimum liegt zwischen 4 und 5 ME.
Das Nutzenmaximum liegt bei 5 ME.

f) Berechnung des Betriebsoptimums und der minimalen Stückkosten:

Ansatz zur Ermittlung des Betriebsoptimums:
k(x) = d(x)

Berechnung:
x² - 8x + 25 + 14/x = 3x² - 16x + 25
-2x² + 8x + 14/x = 0
-2x³ + 8x² + 14 = 0
x³ - 4x² - 7 = 0

Probieren ergibt als Schnittstelle und Betriebsoptimum x = 4,36...

Ansatz zur Ermittlung der minimalen Stückkosten:
k(4,36...) = y

Berechnung:
k(4,36...) = 4,36...² - 8*4,36... + 25 + 14/4,36... = 12,34...

Die minimalen Stückkosten befinden sich im Betriebsoptimum bei x = 4,36... in Höhe von 151,78 GE.

g) Berechnung des Betriebsminimums und der Preisuntergrenze:

Ansatz zur Ermittlung des Betriebsminimums:
v(x) = d(x)

Berechnung:
x² - 8x + 25 = 3x² - 16x + 25
-2x² + 8x = 0
x² - 4x = 0
x(x - 4) = 0

Als zu betrachtende Schnittstelle (x = 0 wird nicht betrachtet, da hier nichts produziert wird) und Betriebsminimum ergibt sich x = 4.

Ansatz zur Ermittlung der Preisuntergrenze:
v(4) = y

Berechnung:
v(4) = 4² - 8*4 + 25 = 9

Die Preisuntergrenze befindet sich im Betriebsminimum bei x = 4 in Höhe von 9 GE.

h)

i)