rential-
rech-
nung
Aufgabe 28:
Der Graph einer Funktion dritten Grades berührt bei x =
1 die x-Achse und besitzt in W(3;16) einen Wendepunkt.
Berechne die Funktionsgleichung.
Aufstellen des Gleichungssystems:
[Ableitungen der
Normalform:
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a]
| ax3 | +bx2 | +cx | +d | = | f(x) | ||
| E(1;0) | a | +b | +c | +d | = | 0 | (1) |
| f'(1)
= 0, weil E Extrempunkt |
3a | +2b | +c | = | 0 | (2) | |
| W(3;16) | 27a | +9b | +3c | +d | = | 16 | (3) |
| f''(3)
= 0, weil W Wendepunkt |
18a | +2b | = | 0 | (4) |
Eleminieren von d in (1):
| 26a | +8b | +2c | = | 16 | (1a) = (3) - (1) | |
| 3a | +2b | +c | = | 0 | (2) | |
| 27a | +9b | +3c | +d | = | 16 | (3) bleibt unverändert! |
| 18a | +2b | = | 0 | (4) |
Eleminieren von c in (1a):
| 20a | +4b | = | 16 | (1b) = (1a) - 2 * (2) | ||
| 3a | +2b | +c | = | 0 | (2) bleibt unverändert! | |
| 27a | +9b | +3c | +d | = | 16 | (3) bleibt unverändert! |
| 18a | +2b | = | 0 | (4) |
Eleminieren von b in (1b):
| -16a | = | 16 | (1c) = (1b) - 2 * (4) | |||
| 3a | +2b | +c | = | 0 | (2) bleibt unverändert! | |
| 27a | +9b | +3c | +d | = | 16 | (3) bleibt unverändert! |
| 18a | +2b | = | 0 | (4) bleibt unverändert! |
Aus (1c) ergibt
sich:
a = -1
Dies eingesetzt
in (4) ergibt:
-18 + 2b = 0
b = 9
Beides eingesetzt
in (2) ergibt:
-3 + 18 + c = 0
c = -15
Alle drei
eingesetzt in (1) ergibt:
-1 + 9 - 15 + d = 0
d = 7
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -x³ + 9 x² - 15x + 7.
rential-
rech-
nung
Aufgabe
29:
Eine Funktion dritten Grades besitzt im Punkt A(-4;4)
eine waagerechte Tangente und in W(-2;2) einen
Wendepunkt. Berechne die Funktionsgleichung.
Aufstellen des Gleichungssystems:
[Ableitungen der
Normalform:
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a]
| ax3 | +bx2 | +cx | +d | = | f(x) | ||
| A(-4;4) | -64a | +16b | -4c | +d | = | 4 | (1) |
| W(-2;2) | -8a | +4b | -2c | +d | = | 2 | (2) |
| f'(-4)
= 0, weil die Tangente parallel zur x-Achse verläuft |
48a | -8b | +c | = | 0 | (3) | |
| f''(-2)
= 0, weil W Wendepunkt |
-12a | +2b | = | 0 | (4) |
Eleminieren von d in (2):
| 56a | -12b | +2c | = | -2 | (2a) = (2) - (1) | |
| 48a | -8b | +c | = | 0 | (3) | |
| -12a | +2b | = | 0 | (4) |
Eleminieren von c in (3):
| -40a | +4b | = | -2 | (3a) = (2a) - 2 * (3) | ||
| -12a | +2b | = | 0 | (4) |
Eleminieren von b in (4):
| -16a | = | -2 | (4a) = (3a) - 2 * (4) |
Aus (4a) ergibt
sich:
a = 1/8
Dies eingesetzt
in (3a) ergibt:
-5 + 4b = -2
4b = 3
b = 3/4
Dies eingesetzt
in (3) ergibt:
6 - 6 + c = 0
c = 0
Dies eingesetzt
in (2) ergibt:
-1 +3 + d = 2
d = 0
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = 1/8x³ + 3/4x².