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Aufgabe 35:
Die folgende Aufgabe wurde mir per E-Mail zugestellt, um bei der Lösung zu helfen. Der Autor ist mir leider unbekannt.
Ein Angebotsmonopolist mit linear verlaufender Preis-Absatz-Funktion ist mit seiner Kostensituation unzufrieden. Es stellt sich heraus, daß die lineare Gesamtkostenfunktion K(x) durch die Punkte P1(2;17) und P2(4;19) verläuft. Die Gewinnfunktion weist Nullstellen bei x1 = 1 und x2 = 10 auf und verläuft darüber hinaus durch den Punkt P(2;8).
a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Gesamtkosten K(x).
Da zwei Punkte der Kostenfunktion bekannt sind und sie (gemäß der technologischen Produktionsbedingungen offenbar) einen linearen Verlauf besitzt, wird die Zwei-Punkte-Form zur Berechnung von K(x) angewendet:
Die Kostenfunktion lautet demnach K(x) = x + 15.
b) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung des Gewinns G(x).
Da das Unternehmen ein Angebotsmonopolist mit linear verlaufender Preis-Absatz-Funktion ist, besitzt es als Erlösfunktion E(x) eine nach unten geöffnete Parabel, die durch den Koordinatenursprungspunkt verläuft. Wegen G(x) = E(x) - K(x) besitzt die Gewinnfunktion höchstens den Grad 2. Da ihre beiden Nullstellen (Gewinnschwelle und Gewinngrenze) und ein weiterer Punkt bekannt sind, kann mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus ihre Funktionsgleichung bestimmt werden:
| ax2 | +bx | +c | = | G(x) | ||
| G(10;0) | 100a | +10b | +c | = | 0 | (1) |
| G(2;8) | 4a | +2b | +c | = | 8 | (2) |
| G(1;0) | a | +b | +c | = | 0 | (3) |
Eleminieren von c in (2) und (3):
| 96a | +8b | = | -8 | (2a) = (1) - (2) | |
| 99a | +9b | = | 0 | (3a) = (1) - (3) |
Vereinfachen des Gleichungssystems:
| 12a | +b | = | -1 | (2b) = (2a) / 8 | |
| 11a | +b | = | 0 | (3b) = (3a) / 11 |
Eleminieren von b in (3b):
| a | = | -1 | (3c) = (2b) - (3c) |
Also gilt:
a = -1
Dies eingesetzt
in (2b) ergibt:
-12 + b = -1
b = 11
Dies eingesetzt
in (3) ergibt:
-1 + 11 + c = 0
c = -10
Also lautet die Gewinnfunktion G(x) = -x² + 11x - 10.
c) Weisen Sie nach, daß die Kostenfunktion die Gewinnfunktion in einem Tangentialpunkt T berührt.
Wenn sich zwei Funktionen in einem Punkt berühren, dann besitzen sie in diesem Punkt die gleiche Steigung und es gibt nur diesen einen gemeinsamen Punkt. Daher sind die ersten Ableitungen der Kosten- und der Gewinnfunktion gleich zu setzen:
K'(x) = 1
G'(x) = -2x + 11
| -2x + 11 = 1 | - 11 |
| -2x = -10 | / (-2) |
| x = 5 |
Offenbar gibt es nur einen gemeinsamen Punkt, der somit Tangentialpunkt ist.
K(5) = 5 + 15 = 20
Der Tangentialpunkt existiert bei T(5;20).
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d) Berechnen Sie die Erlösfunktion E(x).
G(x) = E(x) – K(x) => E(x) = G(x) + K(x):
E(x) = -x² + 11x – 10 + x + 10
E(x) = -x² + 11x
e) Ermitteln Sie die Koordinaten des Erlösmaximums.
E'(x) = -2x + 11
E''(x) = -2 < 0
-2x + 11 = 0 => x = 5,5
E(5,5) = -(5,5²) + 11 = 90,75
Also: Emax(5,5;90,75)
f) Ermitteln Sie die (neue) Gewinnschwelle und die (neue) Gewinngrenze des Angebotsmonopolisten.
Ansatz:
E(x) = K(x) oder G(x) = 0
Anwenden der p-q-Formel:
| -x2 + 11x - 10 = 0 | * (-1) | ||
| x2 - 11x + 10 = 0 | |||
| x1,2 = 5,5 ± sqr(30,25 - 10) | |||
| x1,2 = 5,5 ± 4,5 | |||
| x1 = 1 und x2 = 10 | |||
Die Gewinnschwelle befindet sich bei Gs = 1 und die Gewinngrenze Gg = 10.
g) Ermitteln Sie das Gewinnmaximum.
G'(x) = -2x + 11
G''(x) = -2 < 0
| -2x + 11 = 0 | - 11 | ||
| -2x = -11 | / (-2) | ||
| x = 5,5 | |||
Das Gewinnmaximum liegt bei x = 5,5.
G(5,5) = -(5,5²) +11 * 5,5 -10 = 80,75
Das Gewinnmaximum beträgt 80,75 GE.
h) Ermitteln Sie die Koordinaten des Cournot'schen Punkts.
Der Cournot'sche Punkt befindet sich auf der Preis-Absatz-Funktion eines Angebotsmonopolisten an der Stelle des Gewinnmaximums.
p(x) = E(x) / x
p(x) = (-x² + 11x) / x = -x + 11
C = p(5,5) = -5,5 + 11 = 5,5
Der Cournot'sche Punkt besitzt also die Koordinaten C(5,5;5,5).
i) Welche Aussage liefert die Angabe des Cournot'schen Punkts?
Der Cournot'sche Punkt gibt den Stückpreis und die Absatzmenge des Angebotsmonopolisten an, bei der der Gewinn maximiert wird.