rationale
Funktionen
3. und 4.
Grades
Für die folgenden Aufgaben gelte:
- Die Kostenfunktion sei eine Funktion 3. Grades.
- 1 ME = 1.000 Stück
- 1 GE = 1.000 EUR
Eine Gärtnerei produziert englische Zypressen. Bei einer Produktionsmenge von 3.000 Stück wird das Betriebsminimum in Höhe von 3.500 EUR erzielt. Die fixen Kosten betragen 8.000 EUR und bei einer Produktionsmenge von 6.000 Stück betragen die variablen Stückkosten ebenfalls 8.000 EUR. Es ist ferner bekannt, daß bei einer Produktionsmenge von 2 ME die Gesamtkosten 16 GE betragen.
a) Berechne die Gesamtkostenfunktion K(x):
Da K(x) eine Funktion 3. Grades ist, können die Werte des Betriebsminimums in die Scheitelpunktform der Parabel eingesetzt werden.
| kv(x) = a*(x - 3)² + 3,5 | ausmultiplizieren mit binomischer Formel | ||
| kv(x) = a*(x² -6x + 9) + 3,5 | Faktor in die Klammer multiplizieren | ||
| kv(x) = ax² -6ax + 9a + 3,5 | * x, um Kv(x) zu erhalten | ||
| Kv(x) = ax³ -6ax² + 9ax + 3,5x | + 8 = Kf(x), um K(x) zu erhalten | ||
| K(x) = ax³ -6ax² + 9ax + 3,5x + 8 | |||
Zur Bestimmung von a berechne
etwa K(2) = 16:
K(2) = 8a -24a +18a +7 + 8 = 2a +15 = 16
2a = 1
a = 1/2
Also ergibt sich: K(x) = 0,5x³ -3x² + 8x + 8.
b) Die Stückerlöse betragen 8 EUR. Berechne die Erlösfunktion E(x):
E(x) = 8x, da pro Stück 8 EUR erlöst werden.
c) Berechne die Gewinnfunktion G(x):
G(x) = E(x) - K(x)
G(x) = 8x - (0,5x³ -3x² + 8x + 8) = -0,5x³ +3x² - 8
d) Berechne Nutzenschwelle und Nutzengrenze:
Siehe Aufgabe Seite 136, Nr. 3 c).
rationale
Funktionen
3. und 4.
Grades
Für die folgenden Aufgaben gelte:
- Die Kostenfunktion sei eine Funktion 3. Grades.
- 1 ME = 1.000 Stück
- 1 GE = 1.000 EUR
Ein Betrieb habe bei einer Produktionsmenge von 5.000 Stück das Betriebsminimum in Höhe von 10.000 EUR. Die fixen Kosten betragen 24.000 EUR. Es ist ferner bekannt, daß bei einer Produktionsmenge von 3 ME die Gesamtkosten 66 GE betragen.
a) Berechne die Gesamtkostenfunktion K(x):
Da K(x) eine Funktion 3. Grades ist, können die Werte des Betriebsminimums in die Scheitelpunktform der Parabel eingesetzt werden.
| kv(x) = (x - 5)² + 10 | ausmultiplizieren mit binomischer Formel | ||
| kv(x) = x² -10x + 25 + 10 | |||
| kv(x) = x² -10x + 35 | * x, um Kv(x) zu erhalten | ||
| Kv(x) = x³ -10x² + 35x | |||
Durch Addition der fixen Kosten ergibt sich: K(x) = x³ -10x² + 35x + 24.
b) Die Stückerlöse betragen 22 EUR. Berechne die Erlösfunktion E(x):
E(x) = 22x, da pro Stück 22 EUR erlöst werden.
c) Berechne die Gewinnfunktion G(x):
G(x) = E(x) - K(x)
G(x) = 22x - (x³ -10x² + 35x + 24) = -x³ +10x² - 13x - 24
d) Berechne Nutzenschwelle und Nutzengrenze:
Siehe Aufgabe Seite 136, Nr. 4 b).