rationale
Funktionen
3. und 4.
Grades
| Anmerkungen: Das beschriebene Vorgehen kann nicht alle möglichen Aufgabenstellungen bewältigen - aber die meisten. Die Aufgabenstellungen werden auf die der Höheren Handelsschule eingeschränkt. Es werden nur Funktionen 3. Grades berücksichtigt. Gegebene Größen werden in der Farbe hervorgehoben, in der auch dieser Satz dargestellt wird. |
| Die meisten Aufgabenstellungen beinhalten eine Angabe des Stückerlöses. Damit kann die Erlösfunktion E(x) sofort aufgestellt werden, weil der Erlös sich als Menge * Preis berechnet. |
| Zur Ermittlung der Kostenfunktion K(x) sind meistens die mindestens
benötigten vier Punkte als Mengen-Kosten-Kombination (häufig in Form einer Tabelle)
gegeben. Einer dieser Punkte sollte sich zumindest aus der Angabe der fixen Kosten ableiten lassen. Manchmal muß ein Punkt durch die Angabe der Menge und der fixen Kosten und den variablen Stückkosten oder durch die Angabe der Menge und den Stückkosten bei dieser Menge erst berechnet werden. Mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus kann daher die Kostenfunktion K(x) aufgestellt werden. Aus der Kostenfunktion K(x) läßt sich durch Division von x die Funktion der Stückkosten k(x) berechnen. Das Betriebsoptimum kann allenfalls geschätzt werden, weil die Berechnungshilfsmittel aus der Differentialrechnung noch nicht zur Verfügung stehen. Dagegen kann das Betriebsminimum mit den bekannten Hilfsmitteln bestimmt werden. Dazu sind zunächst die fixen Kosten Kf(x) von den Kosten K(x) abzuziehen und das Ergebnis durch die Menge x zu teilen. Es ergibt sich die Funktionsgleichung der variablen Stückkosten kv(x). Wird die so ermittelte Parabel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung auf ihre Scheitelpunktform gebracht, so kann das Minimum der variablen Stückkosten kv(x) [= Betriebsminimum] abgelesen werden. Andererseits können das Betriebsminimum und die fixen Kosten bekannt sein. Einsetzen der Werte des Betriebsminimums in die Scheitelpunktform der Parabel und Ausmultiplizieren ergibt die Funktionsgleichung der variablen Stückkosten kv(x). Die Koordinaten des Scheitelpunktes müssen zur Bestimmung des Faktors a in kv(x) eingesetzt werden. Durch Multiplikation von kv(x) mit der Menge x entsteht daraus die Funktionsgleichung der variablen Kosten Kv(x), zu der anschließend die fixen Kosten addiert werden müssen, um die Kostenfunktion K(x) zu erhalten. |
| Die Gewinnfunktion
G(x) kann erst errechnet werden, wenn
die Erlösfunktion E(x) und die Kostenfunktion K(x) bekannt sind. Der Ansatz lautet dann: G(x) = E(x) - K(x). |
Zur
Berechnung von Nutzenschwelle und Nutzengrenze
(auch Gewinnzone genannt) können entweder
Meistens ist ein Schnittpunkt von Erlösfunktion E(x) und Kostenfunktion K(x) [= Nullstelle der Gewinnfunktion] durch die Vorgabe der Punkte der Kostenfunktion und Einsetzen der entsprechenden Mengen in die Erlösfunktion E(x) sofort berechenbar. Sollte das nicht der Fall sein, so ist durch Probieren eine Nullstelle der Gewinnfunktion G(x) zu ermitteln. Mit Hilfe der Polynomdivision kann der so gefundene Linearfaktor von der Kostenfunktion K(x) abgespalten werden und anschließend mit Hilfe der p-q-Formel die beiden restlichen Schnittstellen bzw. Nullstellen bestimmt werden. Achtung! Eine der drei Nullstellen bzw. Schnittpunkte muß im negativen Bereich liegen und darf damit zur Berechnung der Gewinnzone nicht berücksichtigt werden. Die
kleinere Menge ist die Nutzenschwelle. |